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数学定义与定义表达式

文章来源:http://www.vipp88.com 添加时间:2019/12/11

  一、定义与定义表达式
 
  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大),则称y为x的二次函数。
 
  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
 
  二、二次函数的三种表达式
 
  一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
 
  顶点式:y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h,k)]
 
  交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
 
  注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
 
  h=-b/2a
 
  k=(4ac-b²)/4a
 
  x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
 
  三、二次函数的图像
 
  在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
 
  四、抛物线的性质
 
  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
 
  对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。
 
  2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。
 
  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
 
  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
 
  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
 
  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
 
  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。
 
  6.抛物线与x轴交点个数:
  Δ=b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
 
  Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
 
  Δ=b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b²-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
 
  五、二次函数与一元二次方程
 
  特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c。
 
  当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax²+bx+c=0。
 
  此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
 
  1.二次函数y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同。
 
  它们的顶点坐标及对称轴如下表:
 
  当h>0时,y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
 
  当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
 
  当h>0,k>0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。
 
  当h>0,k<0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
 
  当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
 
  当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
 
  因此,研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
 
  2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b²]/4a).
 
  3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
 
  4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点:
 
  (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
 
  (2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。
 
  当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
 
  5.抛物线y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.
 
  顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
 
  6.用待定系数法求二次函数的解析式
 
  (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0).
 
  (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0).
 
  (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
 
  7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

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